Cho hai biểu thức: A=√x+2/√x−3 và B=√x−2/√x−3−3/√x+x+4√x−9/x−3√x(với x>0;x≠9.) 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 169

1) Thay \[x = 169\] (TMĐK) vào biểu thức \(A\) ta được: \(A = \frac{{15}}{{10}} = \frac{3}{2}.\)

Kết luận

2) \[B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{3}{{\sqrt x }} + \frac{{x + 4\sqrt x - 9}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - 2\sqrt x - 3\sqrt x + 9 + x + 4\sqrt x - 9}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{2x - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x (2\sqrt x - 1)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]

\( = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}.\)

Vậy với \(x > 0;x \ne 9\) thì \(B = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}\)

3) Với \(x > 0;x \ne 9\) ta có:

\(P = B:A = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 2 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\)

Vì \(x > 0;x \ne 9\) và \[x\] nguyên nên \[x \ge 1.\] Suy ra \[x\; + \,2 \ge 3\].

Lập luận: \(P \ge 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}\).

Dấu “=” xảy ra khi \[x = 1\] (TMĐK)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P\] là \(\frac{1}{3}\) khi \[x = 1\].