Cho hai biểu thức A=√x+2/√x+1 và B=√x+3/√x−2−√x+2/x−4 (với x≥0;x≠4). 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=9.

1) Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào A ta có:

\(A = \frac{{\sqrt 9 + 2}}{{\sqrt 9 + 1}} = \frac{5}{4}\).

Vậy khi \(x = 9\) thì \(A = \frac{5}{4}\).

2) \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 2\sqrt x + 3\sqrt x + 6 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\( = \frac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\).

3) Ta có: \(\frac{B}{A} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\). \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} \le \frac{{x - \sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\)

\(\frac{{x - \sqrt x + 2 - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 2}} \ge 0\)

\(\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} \ge 0\)

\(\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 2}} \ge 0\).

Vì \({(\sqrt x - 1)^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên xét 2 TH.

* Trường hợp 1: \({\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0\) hay \(x = 1\) (TMĐK).

* Trường hợp 2: \(\sqrt x - 2 > 0\) hay \(x > 4\) (TMĐK).

Vậy \(x = 1\) hoặc \(x > 4\) thì \(\frac{B}{A} \le \frac{{x - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}\).