Cho hai biểu thức A=√x−2/√x+1;B=√x−2/√x+1/√x−1−2/x−√x, với x>0,x≠1. 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=9.

3/9

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\);\(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{x - \sqrt x }}\), với \(x > 0,x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}\).

3) Đặt biểu thức\(P = \frac{A}{B}\). Tìm tất cả giá trị của \(x\) để \(P < \frac{1}{2}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1) Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\), ta được: \(\frac{{\sqrt 9 - 2}}{{\sqrt 9 + 1}} = \frac{1}{4}\).

Vậy khi \(x = 9\) thì \(A = \frac{1}{4}\).

2) Với \(x > 0,x \ne 1\), ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{x - \sqrt x }}\)\( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) + \sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - \sqrt x - 2\sqrt x + 2 + \sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]\( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}\) (đpcm).

3) ĐKXĐ: \(B \ne 0\) hay \(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} \ne 0\) nên \(\sqrt x - 2 \ne 0\) suy ra \(x \ne 4\).

Ta có: \(P = \frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)

Với \(P < \frac{1}{2}\) thì \(\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} < \frac{1}{2}\)

\(\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{2} < 0\)

\(\frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} < 0\)

\(\frac{{2\sqrt x - 2 - \sqrt x - 1}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} < 0\)

\(\frac{{\sqrt x - 3}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} < 0\)

Vì \(x > 0\) nên \(2\left( {\sqrt x + 1} \right) > 0\)

Để \(\frac{{\sqrt x - 3}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} < 0\) thì \(\sqrt x - 3 < 0\) nên \(\sqrt x < 3\) suy ra \(x < 9\).

Kết hợp với điều kiện \(x > 0,x \ne 1,x \ne 4\), ta được: \(0 < x < 9,x \ne 1,x \ne 4\).

Vậy \(x \in \left\{ {2\,;\,\,3\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8} \right\}\) thì \(P < \frac{1}{2}\).