Cho hai biểu thức A=√x+1/x+√x+1; B=√x+1/x−1−x+2/x√x−1 với x≥0;x≠1 (a) Tính giá trị biểu thức A khi x=9.

a) Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức \[A\], ta có: \(A = \frac{{\sqrt 9 + 1}}{{9 + \sqrt 9 + 1}} = \frac{4}{{13}}\).

Vậy \(A = \frac{4}{{13}}\)khi \(x = 9\).

b) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)\( = \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}\).

Do đó \(P = B - A = \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{{ - \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\).

c) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có:

\(Q = \frac{2}{P} + \sqrt x = \frac{{2\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{ - \sqrt x }} + \sqrt x = \frac{{ - 2{\rm{x}} - 2\sqrt x - 2 + x}}{{\sqrt x }}\)

\( = \frac{{ - x - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = - \left( {\sqrt x + 2 + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\)

Với \(a \ge 0;b \ge 0\) ta có: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\)

\(a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0\)

\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).

Với \(x > 0;x \ne 1\) thì \(\sqrt x > 0\)và \(\frac{2}{{\sqrt x }} > 0\)

Ta có:

\(\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{2}{{\sqrt x }}} \)

\(\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt 2 \)

\(\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} + 2 \ge 2\sqrt 2 + 2\)

\( - \left( {\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} + 2} \right) \le - 2\sqrt 2 - 2\)

\(Q \le - 2\sqrt 2 - 2\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(Q = - 2\sqrt 2 - 2\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}\) suy ra \(x = 2\) (TMĐK).