Cho hai biểu thức A=1/(căn x−1) – (x−căn x+3) / (x căn (x) −1) và B=(x+2) / (x+căn x+1). Biết rằng biểu thức P = A : (1 – B). Tìm x để P≤1.
Do P = A : (1 – B) nên
\[P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{x - \sqrt x + 3}}{{x\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\] với \[x > 1\]
\[P = \left( {\frac{{1\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - \sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \frac{{x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\]
\[P = \left( {\frac{{x + \sqrt x + 1 - x + \sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x - 1}}{{x + \sqrt x + 1}}\]
\[P = \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x\sqrt x - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x - 1}}{{x + \sqrt x + 1}}\]
\[P = \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]
\[P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\] với \[x > 1\]
Để \[P \le 1\] hay \[\frac{2}{{\sqrt x - 1}} \le 1 \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} - 1 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{ - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 1}} \le 0\]
Đến đây xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: \[\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt x + 3 \le 0\\\sqrt x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt x \le - 3\\\sqrt x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \ge 3\\\sqrt x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 9\]
Trường hợp 2: \[\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt x + 3 \ge 0\\\sqrt x - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt x \ge - 3\\\sqrt x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \le 3\\\sqrt x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 1\]. Kết hợp với điều kiện của x thì \[0 \le x \le 1\]
Vậy \[0 \le x \le 1\] hoặc \[x \ge 9\] để \[P \le 1\]