Cho hai biểu thức A = x / x+5 và B = x^2 -2 / x^2 + 2x - 1/x + 1/x +2 với x khác 0

1/5

Cho hai biểu thức \(A = \frac{x}{{x + 5}}\) và \(B = \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}}\) với \[x \ne 0\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne - 5.\]

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 3\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{x - 2}}{x}\).

3) Đặt \(P = A \cdot B\). Tìm \(x\) nguyên nhỏ nhất để \(P\) có giá trị là số nguyên.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1) Thay \(x = 3\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\), ta có: \(A = \frac{3}{{3 + 5}} = \frac{3}{8}.\)

2) Với \[x \ne 0\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne - 5,\] ta có:

\(B = \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}}\)

\( = \frac{{{x^2} - 2 - \left( {x + 2} \right) + x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{{x^2} - 2 - x - 2 + x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{{x^2} - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{x}\).

Với \[x \ne 0\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne - 5,\] ta có:

\[P = A \cdot B = \frac{x}{{x + 5}} \cdot \frac{{x - 2}}{x} = \frac{{x - 2}}{{x + 5}} = \frac{{x + 5 - 7}}{{x + 5}} = 1 - \frac{7}{{x + 5}}\].

Để \(P\) nguyên khi \(1 - \frac{7}{{x + 5}}\) nguyên, suy ra \(\frac{7}{{x + 5}} \in \mathbb{Z}\)

Khi đó \(x + 5 \in \)Ư\(\left( 7 \right) = \left\{ {1\,;\,\, - 1\,;\,\,7\,;\,\, - 7} \right\}\) nên \(x \in \left\{ { - 4\,;\,\, - 6\,;\,\,2\,;\,\, - 12} \right\}\).

Mà \[x \ne 0\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne - 5\] và \(x\) là số nguyên nhỏ nhất nên \(x = - 12\).
Vậy \(x\) nguyên nhỏ nhất để \(P\) có giá trị là số nguyên thì \(x = - 12\).