Cho hai biểu thức: A = x + 3 căn bậc hai của x − 2 và B = (căn bậc hai của x − 1) / (căn bậc hai của x + 2) + 5 căn bậc hai của x − 2 / (x − 4) với x > 0, x khác 4. Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Sai.         c) Sai.         d) Sai.

a) Đúng.

Với \(x = 16\) (thỏa mãn điều kiện), ta có

\(A = \frac{{16 + 3}}{{\sqrt {16} - 2}} = \frac{{19}}{{4 - 2}} = \frac{{19}}{2}\).

Vậy khi \(x = 16\) thì giá trị của biểu thức \(A\)bằng \(\frac{{19}}{2}\).

b) Sai.

Thay x = 16 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\) được:

\(B = \frac{{\sqrt {16} - 1}}{{\sqrt {16} + 2}} + \frac{{5\sqrt {16} - 2}}{{16 - 4}} = \frac{{4 - 1}}{{4 + 2}} + \frac{{5.4 - 2}}{{12}} = \frac{3}{6} + \frac{{18}}{{12}} = 2 < \frac{{19}}{2}\).

Do đó, tại x = 16 thì giá trị của biểu thức A lớn hơn giá trị của biểu thức B.

c) Sai.

Với \(x > 0,\,\,x \ne 4\), ta có

\(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\).

d) Sai.

Ta có \(P = \frac{A}{B} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}\).

Để P nguyên với x ∈ ℤ thì \(\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}\) nguyên.

Do đó \(\sqrt x \) là ước của 3 nên \(\sqrt x \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\).

Với \(\sqrt x = 1\) thì x = 1 (thỏa mãn).

Với \(\sqrt x = 3\) thì x = 9 (thỏa mãn).

Do đó, có hai giá trị nguyên của x để P nguyên.