Cho hai biểu thức: A = x + 2 căn bậc hai của x + 5 căn bậc hai của x − 3 và B = 2 căn bậc hai của x − 9x − 5 căn bậc hai của x + 6 − căn bậc hai của x + 3 căn bậc hai của x − 2 − 2 căn bậc h

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.       b) Sai.         c) Đúng.     d) Đúng.

a) Đúng.

Với x = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào \(A = \frac{{x + 2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}\), ta được:

\(A = \frac{{4 + 2\sqrt 4 + 5}}{{\sqrt 4 - 3}} = \frac{{13}}{{ - 1}} = - 13\).

b) Sai.

Với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9, ta có:

\(B = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\)

   \( = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

    \( = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

     \( = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

    \( = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

    \( = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\).

c) Đúng.

Ta có: \[\frac{A}{B} = \frac{{x + 2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{x + 2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}}\].

d) Đúng.

Ta có: \[\frac{A}{B} = \frac{{x + 2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + 4}}{{\sqrt x + 1}} = \left( {\sqrt x + 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x + 1}}\]

Với mọi x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\[\left( {\sqrt x + 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x + 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x + 1} \right).\frac{4}{{\sqrt x + 1}}} = 4\].

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[\frac{A}{B}\] khi x = 1.