Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{x - \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{x - \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x - 11 - x + 2\sqrt x + 2x + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{x + 4\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 1}}\).

Ta có: P = A.B = \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}.\frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}}\).

Để P nhận giá trị nguyên thì \(\frac{4}{{\sqrt x + 2}}\) nguyên.

Suy ra \(\sqrt x + 2\) là ước của 4.

Nhận thấy \(\sqrt x + 2 \ge 2\) với x ≥ 0; x ≠ 4 nên \(\sqrt x + 2\) = 2 hoặc \(\sqrt x + 2\) = 4.

Suy ra x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 4 (loại).

Vậy x = 0 thì P = A.B nhận giá trị nguyên.