Cho hai biểu thức A = căn x / căn x -1 + 1/ x+2 - 3 căn x / mx + căn x - 2và B= căn x + 3 / m+1

Điều kiện: x ≥ 0, x ¹1.

\({\rm{A}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{x}} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} - \frac{{3\sqrt {\rm{x}} }}{{{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} - 2}}\)

\( = \frac{{\sqrt {\rm{x}} \left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right) + \sqrt {\rm{x}} - 1 - 3\sqrt {\rm{x}} }}{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{\rm{x}} + 2\sqrt {\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} - 1 - 3\sqrt {\rm{x}} }}{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{\rm{x}} - 1}}{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}}\).

Vậy \({\rm{A}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}}\) với x ≥ 0, x ¹1.

b) Ta có: \({\rm{S}} = {\rm{AB}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} \cdot \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 3}}{{\sqrt {\rm{x}} + 1}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 3}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 2 + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} = {\rm{1}} + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}}\).

Ta thấy \(\sqrt {\rm{x}} + 2 \ge 2\) với mọi x ≥ 0, x ¹1.

Suy ra, \(\frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} \le \frac{1}{2}\) với mọi x ≥ 0, x ¹1.

Do đó, \(1 + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} \le \frac{3}{2}\) với mọi x ≥ 0, x ¹1.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn).

Vậy giá trị lớn nhất của S bằng \(\frac{3}{2}\) khi x = 0.