Cho hai biểu thức: A = (căn bậc hai x − 3) / (căn bậc hai x − 1) và B = (căn bậc hai x (căn bậc hai x + 1) − 1) / (căn bậc hai x − 1 + 2x − 1) với x ≥ 0, x ≠ 1. 1. Tính giá trị của biểu thức
1) Thay \[x = 0,25\] (TMĐK) vào biểu thức \[A\], ta được:
\[A = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt {0,25} - 3}}{{\sqrt {0,25} - 1}} = \frac{{0,5 - 3}}{{0,5 - 1}} = \frac{{ - 2,5}}{{ - 0,5}} = 5\]
Vậy \[A = 5\] khi \[x = 0,25\]
2) với \[x \ge 0;x \ne 1\]
\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{x - 1}}\]
\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{1.\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[B = \frac{{x - \sqrt x - \sqrt x - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[B = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[B = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\]
Vậy \[B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\] với \[x \ge 0;x \ne 1\].
3) \[P = A.B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\]
Ta có: \[\left| P \right| + P = 0\]
\[\left| P \right| = - P\]
\[ \Rightarrow P \le 0\]
\[ \Rightarrow \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}} \le 0\]
Vì \[x \ge 0;x \ne 1\] \[ \Rightarrow \sqrt x + 1 > 0\]
\[ \Rightarrow \sqrt x - 3 \le 0\]
\[\sqrt x \le 3\]
\[x \le 9\]
Kết hợp điều kiện: \[x \ge 0;x \ne 1\]
\[ \Rightarrow 0 \le x \le 9,x \ne 1\]
Vì \[x\] nhận giá trị nguyên lớn nhất \[ \Rightarrow x = 9\]
Vậy \[x = 9\] thì \[\left| P \right| + P = 0\].