Cho hai biểu thức A = căn bậc hai của x/(căn bậc hai của x + 2) và B = (căn bậc hai của x − 3)/(x − 1) − 3 căn bậc hai của x + 1 − căn bậc hai của x/(1 − căn bậc hai của x) với x ≥ 0; x ≠ 1.

1) Thay \(x = \frac{4}{9}\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\) ta được: \(A = \frac{{\sqrt {\frac{4}{9}} }}{{\sqrt {\frac{4}{9}}  + 2}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{\frac{2}{3} + 2}} = \frac{1}{4}\).

Vậy \(x = \frac{4}{9}\) thì \(A = \frac{1}{4}\).

2) Ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x  - 3 - 3\left( {\sqrt x  - 1} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x  - 3 - 3\sqrt x  + 3 + x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\). Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\) với  \(x \ge 0;x \ne 1\).

3) Điều kiện xác định của \(M\) là \(B \ne 0\), suy ra \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} \ne 0\) nên \(x \ne 0\).

Kết hợp điều kiện bài ra suy ra \(x > 0;x \ne 1\).

Ta có: \(M = \frac{{2A}}{B} = 2.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = \frac{{2\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 2}} = 2 - \frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\).

Ta có: \(\sqrt x  > 0\) với mọi \(x > 0;x \ne 1\) nên \(\sqrt x  + 2 > 2 \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x  + 2}} < 1\) nên \(2 - \frac{2}{{\sqrt x  + 2}} > 1\).

Mặt khác: \(M = 2 - \frac{2}{{\sqrt x  + 2}} < 2\) nên \(1 < M < 2\). Vậy \(M\) không thể nhận giá trị nguyên.