Cho hai biểu thức: A = căn bậc hai của x + 9 căn bậc hai của x − 2 và B = 1 căn bậc hai của x + 2 − căn bậc hai của x 2 − căn bậc hai của x + căn bậc hai của x + 6 x − 4 (với x ≥ 0; x ≠ 4).
a) Thay \(x = - 27\sqrt[3]{{\frac{{ - 1}}{{27}}}} = - 27 \cdot \,\,\frac{{ - 1}}{3} = 9\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\) ta được:
\(A = \frac{{\sqrt 9 + 9}}{{\sqrt 9 - 2}} = \frac{{3 + 9}}{{3 - 2}} = 12\)
Vậy với \(x = - 27\sqrt[3]{{\frac{{ - 1}}{{27}}}}\) thì \(A = 12\)
b) \(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 6}}{{x - 4}}\) ; \(x \ge 0;x \ne 4\)
\( = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x - 2 + x + 2\sqrt x + \sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\) \( = \frac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\).
c) Ta có \(P = A:B\)\( = \frac{{\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\)
\( = \frac{{\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\)\( = \frac{{\sqrt x + 9}}{{\sqrt x + 2}}\)\( = 1 + \frac{7}{{\sqrt x + 2}}\)
Vậy \[P = \frac{{\sqrt x + 9}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{7}{{\sqrt x + 2}}\] với \(x \ge 0;x \ne 4\)
Ta có \(x \ge 0\) \( \Rightarrow \) \(\sqrt x \ge 0\)
\( \Rightarrow \)\(\sqrt x + 2 > 0\) ; \(7 > 0\)
\( \Rightarrow \) \(\frac{7}{{\sqrt x + 2}} > 0\)
\(1 + \frac{7}{{\sqrt x + 2}} > 1\) hay \(P > 1\) \(\left( 1 \right)\)
Ta có: \(x \ge 0\) \( \Rightarrow \) \(\sqrt x \ge 0\)
\( \Rightarrow \) \(\sqrt x + 2 \ge 2\)
\( \Rightarrow \) \(\frac{7}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{7}{2}\)
\( \Rightarrow \) \(1 + \frac{7}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{9}{2}\) hay \(P \le \frac{9}{2}\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(1 < P \le \frac{9}{2}\) mà \(P \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \left\{ {2\,;\;3\,;\;4} \right\}\)
Xét \(P = 2\) \(1 + \frac{7}{{\sqrt x + 2}} = 2\) \(\frac{7}{{\sqrt x + 2}} = 1\) \[\sqrt x + 2 = 7\] \(\sqrt x = 5\) \(x = 25\) (TMĐK) | Xét \(P = 3\) \(1 + \frac{7}{{\sqrt x + 2}} = 3\) \(\frac{7}{{\sqrt x + 2}} = 2\) \[2\sqrt x + 4 = 7\] \(\sqrt x = \frac{3}{2}\) \(x = \frac{9}{4}\) (TMĐK) | Xét \(P = 4\) \[1 + \frac{7}{{\sqrt x + 2}} = 4\] \(\frac{7}{{\sqrt x + 2}} = 3\) \[3\sqrt x + 6 = 7\] \(\sqrt x = \frac{1}{3}\) \(x = \frac{1}{9}\) (TMĐK) |
Kết hợp với điều kiện xác định \(x \ge 0;x \ne 4\) ta được: \(P\) nguyên thì \(x \in \left\{ {\frac{1}{9}\,;\;\frac{9}{4}\,;\;25} \right\}\)
Vậy \(x\) nhỏ nhất để \(P\) có giá trị là số nguyên là \(x = \frac{1}{9}\).