Cho hai biểu thức: A = (căn bậc hai của x − 3)/(căn bậc hai của x) và B = (căn bậc hai của x)/(căn bậc hai của x + 2) − (2 căn bậc hai của x − 2)/(2 căn bậc hai của x + 4)/(x − 4) với x > 0;

1) Tính giá trị biểu thức \(A\) tại \(x = 16\).

Thay \(x = 16\) (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {16}  - 3}}{{\sqrt {16} }}\)\( = \frac{{4 - 3}}{4} = \frac{1}{4}\).

Vậy khi \(x = 16\) thì giá trị của biểu thức \(A\) bằng \(\frac{1}{4}\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\).

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{2}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{2\sqrt x  + 4}}{{x - 4}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{{2\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\[ = \frac{{x - 2\sqrt x  - \left( {2\sqrt x  + 4} \right) + 2\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\( = \frac{{x - 2\sqrt x  - 2\sqrt x  - 4 + 2\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)\,}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\) (đpcm).

3) Tìm \(x\) để \(\sqrt {A \cdot B}  < \frac{2}{3}\).

\(A \cdot B = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}}\)

\(\sqrt {A \cdot B}  < \frac{2}{3}\)

Để căn thức có nghĩa, ta cần \(A \cdot B \ge 0\) nên \(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} \ge 0\)

Vì \(\sqrt x  + 2 > 0\) với mọi \(x > 0\), nên ta cần \(\sqrt x  - 3 \ge 0\), tức là \(x \ge 9\).

Khi đó, bình phương hai vế của bất phương trình \(\sqrt {A \cdot B}  < \frac{2}{3}\):

\(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} < \frac{4}{9}\)

\(\frac{{9(\sqrt x  - 3) - 4(\sqrt x  + 2)}}{{9(\sqrt x  + 2)}} < 0\)

\(9\sqrt x  - 27 - 4\sqrt x  - 8 < 0\)

\(5\sqrt x  < 35\)

\(\sqrt x  < 7\)

\(x < 49\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 9\) và điều kiện xác định ban đầu, ta có:

Vậy  \(9 \le x < 49\).