Cho hai biểu thức A = (căn bậc hai của x + 3)/(2 căn bậc hai của x + 8) và B = (2 căn bậc hai của x)/(căn bậc hai của x − 4) − (x + 12 căn bậc hai của x)/(x − 16) với x ≥ 0; x khác 16. 1

1) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức \(A\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt 4  + 3}}{{2\sqrt 4  + 8}} = \frac{{2 + 3}}{{2 \cdot 2 + 8}} = \frac{5}{{4 + 8}} = \frac{5}{{12}}\)

Vậy \(x = 4\) thì \(A = \frac{5}{{12}}\).

2) Với \(x \ge 0;x \ne 16\), ta có:

\(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}} - \frac{{x + 12\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 4)(\sqrt x  + 4)}}\)

\(B = \frac{{2\sqrt x (\sqrt x  + 4) - (x + 12\sqrt x )}}{{(\sqrt x  - 4)(\sqrt x  + 4)}}\)

\(B = \frac{{2x + 8\sqrt x  - x - 12\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 4)(\sqrt x  + 4)}}\)

\(B = \frac{{x - 4\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 4)(\sqrt x  + 4)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  - 4)}}{{(\sqrt x  - 4)(\sqrt x  + 4)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}}\) (đpcm)

3) Ta có \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}}:\frac{{\sqrt x  + 3}}{{2\sqrt x  + 8}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} \cdot \frac{{2(\sqrt x  + 4)}}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\)

Với \(x \ge 0\), ta có \(2\sqrt x  \ge 0\) và \(\sqrt x  + 3 > 0\). Do đó \(P \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\).

Suy ra \(\sqrt P \) xác định.

Ta có \(P \le \sqrt P \)

\(P - \sqrt P  \le 0\)

\(\sqrt P (\sqrt P  - 1) \le 0\)

mà \(\sqrt P  \ge 0\) nên \(\sqrt P  - 1 \le 0\)

Suy ra \(\sqrt P  \le 1\)

\(P \le 1\)

\(\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} \le 1\)

\(2\sqrt x  \le \sqrt x  + 3\) (vì \(\sqrt x  + 3 > 0\))

\(\sqrt x  \le 3\)

\(x \le 9\)

Kết hợp điều kiện xác định, ta được: \(0 \le x \le 9\)

Vậy để \(P \le \sqrt P \) thì \(0 \le x \le 9\).