Cho hai biểu thức: A = căn bậc hai của x + 2 căn bậc hai của x − 4 và B = căn bậc hai của x − 2 căn bậc hai của x + 4 − 10 căn bậc hai của x − 8 / (16 − x). Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Đúng.     c) Đúng.     d) Sai.

a) Đúng.

– Xét biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}\).

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và \(x \ge 0\) và \(\sqrt x - 4 \ne 0\) hay \(x \ge 0,\,\,x \ne 16.\)

– Xét biểu thức \[B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}} - \frac{{10\sqrt x - 8}}{{16 - x}}\].

Với \(x \ge 0\), ta có:

⦁\[16 - x = \left( {4 + \sqrt x } \right)\left( {4 - \sqrt x } \right) = - \left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)\].

⦁\(x \ge 0\) nên \(\sqrt x \ge 0,\) suy ra \(\sqrt x + 4 > 0.\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0\) và \(\sqrt x - 4 \ne 0\) hay \(x \ge 0,\,\,x \ne 16.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và biểu thức \(B\) đều là \(x \ge 0,\,\,x \ne 16.\)

b) Đúng.

Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 4 - 2\sqrt 3 .\)

Vì \(x = 4 - 2\sqrt 3 = 3 - 2\sqrt 3 + 1\) nên \(x = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}\)và \(\sqrt x = \sqrt 3 - 1\).

Thay vào \(A\) ta được

\(A = \frac{{\sqrt 3 - 1 + 2}}{{\sqrt 3 - 1 - 4}} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 - 5}}\)\( = \frac{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 5} \right)\left( {\sqrt 3 + 5} \right)}} = \frac{{8 + 6\sqrt 3 }}{{ - 22}} = \frac{{ - 4 - 3\sqrt 3 }}{{11}}\).

Vậy khi \(x = 4 - 2\sqrt 3 \) thì \[A = \frac{{ - 4 - 3\sqrt 3 }}{{11}}\].

c) Đúng.

Với \(x \ge 0\,,\,\,x \ne 16\,,\) ta có:

\[B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}} - \frac{{10\sqrt x - 8}}{{16 - x}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} + \frac{{10\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - 6\sqrt x + 8 + 10\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}}\].

d) Sai.

Ta có \(\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}}\)\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}.\frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x }}\)\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x }}\).

Để \[\frac{A}{B}\] nhận giá trị nguyên thì \(\frac{2}{{\sqrt x }}\) nhận giá trị nguyên hay \(\sqrt x \) là ước của 2.

Do đó, \[\sqrt x = 2\] suy ra x = 4 (thỏa mãn) hoặc \[\sqrt x = 1\], suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy có 2 giá trị nguyên của của x để \[\frac{A}{B}\] nhận giá trị nguyên.