Cho hai biểu thức: A = căn bậc hai của x + 2 căn bậc hai của x + 3 và B = căn bậc hai của x + 5 căn bậc hai của x + 1 + 7 − căn bậc hai của x / (x − 1). Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng.     c) Đúng.     d) Sai.

a) Sai.

⦁ Xét biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}\).

Ta có \(\sqrt x + 3 > 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ge 0.\)

⦁ Xét biểu thức \(B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}\).

Ta có \(\sqrt x + 1 > 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

b) Đúng.

Thay \(x = 16\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {16} + 2}}{{\sqrt {16} + 3}} = \frac{{4 + 2}}{{4 + 3}} = \frac{6}{7}\).

Vậy \(A = \frac{6}{7}\) khi \(x = 16\).

c) Đúng.

Với \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\), ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{x + 4\sqrt x - 5 + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{x + \sqrt x + 2\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}.\)

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 1\) thì \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}\).

d) Sai.

Với \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\), ta có:

\(P = \frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x + 3 - 4}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}}\).

Ta lại có: \(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 3 \ge 3,\) suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{4}{3}\), do đó \(1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} \ge - \frac{1}{3}\).

\(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 3 \ge 3 > 0,\) suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x + 3}} > 0\), do đó \(1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} < 1\).

Như vậy, \( - \frac{1}{3} \le P < 1\).

Mà \(P\) nhận giá trị nguyên nên \(P = 0.\)

Với \(P = 0,\) ta có: \(1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 0,\) suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 1,\) do đó \(\sqrt x + 3 = 4\) nên \(\sqrt x = 1,\) hay \(x = 1\) (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy không có giá trị \(x\) để biểu thức \(P = \frac{A}{B}\) nhận giá trị nguyên.