Cho hai biểu thức A = (6 căn bậc hai của x + 1)/(căn bậc hai của x + 1) ; B = (x + 3 căn bậc hai của x)/(x − 1) − (căn bậc hai của x + 1)/(căn bậc hai của x − 1) với x ≥ 0; x ≠ 1. 1. Tính gi

8/9

(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{6\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\) ; \(B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

1) Tính giá trị biểu thức A khi \(x = 4\).

2) Chứng minh \(B = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\).

3) Tìm tất cả các giá trị của x để \(\frac{A}{B} \ge x + 10\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1) Thay \(x = 4\) (TMĐK) vào biểu thức A ta có:\(A = \frac{{6\sqrt 4 + 1}}{{\sqrt 4 + 1}} = \frac{{13}}{3}\)

Vậy \(A = \frac{{13}}{3}\)khi \(x = 4\)

2) \(B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)

\(B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)

\(B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{x + 3\sqrt x - x - 2\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) (đpcm)

3) Ta có: \(\frac{A}{B} \ge x + 10\)

Suy ra \(\frac{{6\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}.\left( {\sqrt x + 1} \right) \ge x + 10\)

\(x - 6\sqrt x + 9 \le 0\)

\({\left( {\sqrt x - 3} \right)^2} \le 0\)

Suy ra \({\left( {\sqrt x - 3} \right)^2} = 0\)

Suy ra \(\sqrt x = 3\)

Suy ra \(x = 9\)(thỏa mãn)

Vậy \(x = 9\)thì \(\frac{A}{B} \ge x + 10\)