Cho hai biểu thức A = (3 căn bậc hai của x)/(x + 2 căn bậc hai của x − 3) − (2 căn bậc hai của x + 3) và B = (x + 2 căn bậc hai của x)/(8 căn bậc hai của x − 1) với x ≥ 0; x ≠ 1. Tính giá tr

8/9

(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{2}{{\sqrt x + 3}}\) và \(B = \frac{{x + 2\sqrt x + 8}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0\;;\;x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(B\) khi \(x = 9\).

2) Rút gọn biểu thức \(A\).

3) Tìm các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = B:A\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện) vào \(B\) ta có:\(B = \frac{{9 + 2\sqrt 9 + 8}}{{\sqrt 9 - 1}} = \frac{{23}}{2}\).

Vậy \(B = \frac{{23}}{2}\) khi \(x = 9\)

2) Với \(x \ge 0\;;\;x \ne 1\) ta có:

\(A = \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{2}{{\sqrt x + 3}}\)

\(A = \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \frac{{3\sqrt x + 1 - 2\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)

c) Ta có: \(P = B:A\)\( = x + 2\sqrt x + 8\)

\(x \ge 0\)

\(\sqrt x \ge 0\)\( \Rightarrow 2\sqrt x \ge 0\)

Suy ra \(x + 2\sqrt x \ge 0\)

\(x + 2\sqrt x + 8 \ge 8\)

Vậy \(P \ge 8\)

GTNN \(P = 8\). Dấu “=” xảy ra khi \(x = 0\) (thỏa mãn)