Cho hai biểu thức A = 2 căn bậc hai x/(căn bậc hai x + 3) + căn bậc hai x + 1/(căn bậc hai x − 3) + 3 − 11 căn bậc hai x/(9 − x) và B = (căn bậc hai x − 3)/(căn bậc hai x − 2) với x ≥ 0; x ≠

8/9

(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{3 - 11\sqrt x }}{{9 - x}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(B\) khi \(x = 81\).

2) Chứng minh \(A = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\).

3) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị không âm.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1) Thay \(x = 81\) (TMĐK) vào biểu thức \(B\), ta được:

\(B = \frac{{\sqrt {81} - 3}}{{\sqrt {81} - 2}} = \frac{{9 - 3}}{{9 - 2}} = \frac{6}{7}\).

Vậy khi \(x = 81\) thì \(B = \frac{6}{7}\).

2) Với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\), ta có:

\(A = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{3 - 11\sqrt x }}{{9 - x}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3 - 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) - \left( {3 - 11\sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x + \sqrt x + 3 - 3 + 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{3x + 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)\( = \frac{{3\sqrt x (\sqrt x + 3)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)\( = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\).

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\) thì \(A = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}.\)

3) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị không âm.

Ta có \(P = A \cdot B\)\( = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)

Để \(P\) có giá trị không âm thì \(P \ge 0\) nên \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} \ge 0\).

Vì \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x \ge 0\), do đó \(3\sqrt x \ge 0\). Ta xét 2 trường hợp:

TH1: \(3\sqrt x = 0\) suy ra \(x = 0\). Thay vào \(P\) ta được \(P = \frac{0}{{ - 2}} = 0 \ge 0\) (TMĐK).

TH2: \(3\sqrt x > 0\) suy ra \(x > 0\).

Để \(P \ge 0\) mà \(3\sqrt x > 0\) (vì \(x > 0\)) thì \(\sqrt x - 2 > 0\) suy ra \(\sqrt x > 2\) nên \(x > 4\).

Kết hợp cả 2 trường hợp với điều kiện xác định (\(x \ne 9\)), ta được: \(x = 0\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x \ne 9\end{array} \right.\).

Vậy \(x = 0\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x \ne 9\end{array} \right.\) thì \(P\) có giá trị không âm.