Cho hai biểu thức A = 2 căn bậc hai x-3 / căn bậc hai x-1

1) Khi \(x = 9\left( {tm} \right)\) giá trị biểu thức \(A\) là :

       \(A = \frac{{2.\sqrt 9  - 3}}{{\sqrt 9  - 1}}\)\( = \frac{{6 - 3}}{{3 - 1}}\)\( = \frac{3}{2}\)

Vậy \(A = \frac{3}{2}\)khi \(x = 9\)

2) \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{8\sqrt x  - 6}}{{x - 1}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{5\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{8\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x  + 5\sqrt x  - 5 - 8\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\[ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\]

3) \(P = A.B\)\( = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right) - 5}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}}\)

+) Với \(x \ge 0\) ta có \(\sqrt x  + 1 > 0\)\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\)\( \Rightarrow 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} < 2\)\( \Rightarrow P < 2\) (1)

+) Với \(x \ge 0\) ta có \(\sqrt x  + 1 \ge 1\)\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 1}} \ge  - 5\)\( \Rightarrow 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} \ge  - 3\)\( \Rightarrow P \ge  - 3\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \( \Rightarrow  - 3 \le P < 2\), mà \(P \in \mathbb{Z}\), \(P\,m{\rm{ax}}\) nên \(P\, = 1\)

       \(2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = 1\)\( \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = 1\)\( \Rightarrow \sqrt x  + 1 = 5\)\( \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right)\)

Vậy \(x = 16\)là giá trị cần tìm.