Cho ha là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức ha = 2RsinBsinC

Trong tam giác ABC, đặt BC = a, AC = b, AB = c, h_a là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có diện tích tam giác ABC : S =  12a.ha ⇒ha=2Sa

Mà  S=abc4R⇒ha=2.abc4Ra=2bc4R=bc2R         (1)

Theo định lí sin ta có :

asinA=bsinB=csinC=2R⇒b=2RsinB; c = 2RsinC     (2)

Thế (2) vào (1) ta có :

ha=2RsinB.2RsinC2R=2RsinB.sinC

Vậy h_a = 2RsinBsinC.