Cho góc xOy cố định và hai điểm A, B thứ tự chuyển động trên Ox, Oy. Đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với OA, OB lần lượt ở E, F. a) Chứng minh OE = (OF = OA+ OB - AB)/2

a) Gọi tâm đường tròn nội tiếp DOAB là I và K là giao điểm của (I) và AB.

Vì (I) tiếp xúc với OA, OB, AB lần lượt ở E, F, K nên OE = OF, EA = AK, KB = BF.

Lại có: OE = OA – EA = OA – AK, OF = OB – FB = OB – KB.

Do đó, OE + OF = OA – AK + OB – KB = OA + OB – (AK + KB) = OA + OB – AB. Suy ra OE = OF = \(\frac{{{\rm{OA}} + {\rm{OB}} - {\rm{AB}}}}{2}\).

b) Gọi T là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác OAB tại đỉnh O. Đường tròn (T) tiếp xúc với Ax, By, AB lần lượt tại H, J, G. Do đó, AH = AG, GB = BJ.

Ta có: OH = OA + AH = OA + AG, OJ = OB + BJ = OB + BG.

Suy ra: OH + OJ = OA + AG + OB + BG = OA + OB + AB.

Suy ra OH = OJ = \(\frac{{{\rm{OA}} + {\rm{OB}} + {\rm{AB}}}}{2}\).Vì OA + AB + OB không đổi nên OH, OJ không đổi. Mà O cố định nên H, J cố định.

Lại có TH ^ Ox, TJ ^ Oy nên TH, TJ cố định. Suy ra, T cố định.

Vậy nếu chu vi tam giác OAB không đổi. Chứng minh AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.