Cho góc x ( 0 độ bé hơn bằng x bé hơn bằng 180 ) thỏa mãn cos x = 1/4

90/234

Cho góc $x$ $(0^{°} \leq x \leq 180^{°})$ thỏa mãn \[\cos x = \frac{1}{4}.\]

Giá trị của \[P = \frac{{{{\tan }^2}x - \tan x + 3\cot x}}{{\frac{1}{{2\cos x}} - 5\tan x + 3{{\cot }^2}x}}\] là

$\frac{1}{{\sqrt 5 }}$

$\sqrt {\frac{3}{5}} $

$\frac{1}{{\sqrt {15} }}$

$ - \sqrt {\frac{3}{5}} $

Giải thích

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản:

\[{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\quad \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}},\quad \cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}.\]

Giải chi tiết:

Ta có:

\[\cos x = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin x = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{4}.\]

Suy ra:

\[\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = \sqrt {15} ,\qquad \cot x = \frac{1}{{\sqrt {15} }}.\]

Thay vào biểu thức $P$ và rút gọn, ta được:

\[P = - \sqrt {\frac{3}{5}} .\]

Chọn D.