Cho góc α, với sinα+cosα=4/3. Tính giá trị của biểu thức H=sin^3α+cos^3α−5sinαcosα+2.

29/38

Cho góc \(\alpha \), với \(\sin \alpha + \cos {\mkern 1mu} \alpha = \frac{4}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(H = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha - 5\sin \alpha \cos \alpha + 2\).

\(H = - \frac{{61}}{{54}}\).

\(H = \frac{{47}}{{54}}\).

\(H = \frac{{37}}{{54}}\).

\(H = \frac{{15}}{{54}}\).

Giải thích

Chọn B

Ta có: \(\sin \alpha + \cos {\mkern 1mu} \alpha = \frac{4}{3} \Rightarrow {\left( {\sin \alpha + \cos {\mkern 1mu} \alpha } \right)^2} = \frac{{16}}{9} \Leftrightarrow \sin \alpha \cos {\mkern 1mu} \alpha = \frac{7}{{18}}\)

\(H = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha - 5\sin \alpha \cos \alpha + 2\)

\( = {\left( {\sin \alpha + \cos {\mkern 1mu} \alpha } \right)^3} - 3\left( {\sin \alpha + \cos {\mkern 1mu} \alpha } \right)\sin \alpha \cos {\mkern 1mu} \alpha - 5\sin \alpha \cos \alpha + 2 = \frac{{47}}{{54}}\).