Cho góc α thỏa mãn pi/2 < α < pi và sin α = 2/ 3 . Tính P = (1 + sin 2α + cos 2α )/(sin α + cos α) . (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: \[ - 1,5\]

Ta có: \[\sin \alpha = \frac{2}{3}\] và \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \] do đó \[\alpha \] thuộc góc phần tư thứ hai.

Suy ra \[\cos \alpha < 0\] và \[\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\].

Ta có: \[P = \frac{{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

        \[P = \frac{{1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

        \[P = \frac{{{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} + \left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

        \[P = \frac{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {\cos \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha - \sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

        \[P = 2\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 5 }}{3} \approx - 1,5.\]