Cho góc lượng giác α thỏa mãn sin alpha . cos alpha = 2/5 và 0 < alpha < pi/4. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. \({\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)^2} = {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}\).

b) Sai. Trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\), ta luôn có cosα > sinα > 0.

Do đó hiệu M = cosα – sinα > 0.

c) Đúng. Xét \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5} \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{3}{{\sqrt 5 }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\) (do góc nhọn nên tổng dương).

d) Đúng. D = cos⁴α – sin⁴α = (cos²α – sin²α)( cos²α + sin²α)

= (cosα – sinα) (cosα + sinα).

Từ ý a và c: \(\cos \alpha - \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) (do hiệu dương). Vậy \(D = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \cdot \frac{3}{{\sqrt 5 }} = \frac{3}{5}\).