Cho góc lượng giác α thỏa mãn (3sin alpha - cos alpha)/(sin alpha + 2cos alpha )= 2 (với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Chia cả tử và mẫu vế trái cho cosα ≠ 0 ta được:

\(\frac{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 1}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}} = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{3\tan \alpha - 1}}{{\tan \alpha + 2}} = 2\).

b) Đúng. \(\frac{{3\tan \alpha - 1}}{{\tan \alpha + 2}} = 2 \Leftrightarrow 3\tan \alpha - 1 = 2\left( {\tan \alpha + 2} \right) \Leftrightarrow \tan \alpha = 5\).

c) Sai. Chia biểu thức \(F\) cho sin²α + cos²α = 1 ta được

\[F = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + 3\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 1}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 3\tan \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}\].

Thay \(\tan \alpha = 5 \Rightarrow F = \frac{{{5^2} + 3 \cdot 5}}{{{5^2} + 1}} = \frac{{40}}{{26}} = \frac{{20}}{{13}}\).

d) Đúng. Ta có \(G = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \).

Vì \(\tan \alpha = 5 \Rightarrow \cot \alpha = \frac{1}{5} \Rightarrow G = 1 + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = 1 + \frac{1}{{25}} = \frac{{26}}{{25}}\).