Gọi \(AN\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).

$Cho tam giác \(ABC\) với \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = (ảnh 1)$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABN\) và hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\(A{N^2} = B{A^2} + B{N^2} - 2BA \cdot BN \cdot \cos B\)

\( = A{B^2} + B{N^2} - 2AB \cdot BN \cdot \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB \cdot BC}}\)

\( = A{B^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{2}\)

\( = \frac{{2A{B^2} + 2A{C^2} - B{C^2}}}{4}\).

Gọi độ dài của \(AN = {m_a}\).

Khi đó ta có:\(4{m_a}^2 = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2} \Rightarrow 2\left( {{b^2} + {c^2} + {a^2}} \right) = 4{m_a}^2 + 3{a^2} \ge 4\sqrt 3 a{m_a}\) (bất đẳng thức Cô-si)

\( \Rightarrow a{m_a} \le \frac{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{{2\sqrt 3 }}\).

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), khi đó:

\(\frac{{MA}}{a} = \frac{{MA \cdot GA}}{{a \cdot GA}} \ge \frac{{\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {GA} }}{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{{2\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) \cdot \overrightarrow {GA} \)

\( = \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow {GA} + G{A^2}} \right)\).

Tương tự ta có:

\(\frac{{MB}}{b} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow {GB} + G{B^2}} \right)\);

\(\frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow {GC} + G{C^2}} \right)\).

Từ đó, suy ra:

\(\frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left[ {\overrightarrow {MG} \cdot \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right]\).

Lại có, \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) và \(G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\).

Do đó, \(\frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left[ {0 + \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \right] = \sqrt 3 \).

Dấu “=” xảy ra khi tam giác \(ABC\) đều đồng thời \(M\) trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c}\) là \(\sqrt 3 \).

Cho góc α = 60 ∘ . Giá trị tan α bằng