Cho f(x) = x^2 lnx và g(x) = xlnx. Tính f'(x) và nguyên hàm g(x) dx .

Có f'(x) = (x²lnx)' = 2xlnx + x = 2g(x) + x.

Suy ra \(g\left( x \right) = \frac{{f'\left( x \right)}}{2} - \frac{x}{2}\),

Ta có \(\int {g\left( x \right)dx} = \int {\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{2} - \frac{x}{2}} \right)dx} \)\( = \frac{1}{2}\int {f'\left( x \right)dx} - \frac{1}{2}\int {xdx} \)\( = \frac{1}{2}.f\left( x \right) - \frac{{{x^2}}}{4} + C\)

\( = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x - \frac{{{x^2}}}{4} + C\).