Cho F(x) = (x – 1)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^2x. Tìm nguyên hàm

Do F(x) = (x – 1)e^x là một nguyên hàm của f(x)e^2x nên:

F '(x) = f(x)e^2x

Û xe^x = f(x)e^2x

Û f(x) = xex.

Suy ra : f '(x) = ex−xexex2=1−xexe2x 

Þ f '(x) = (1 – x)e^x.

Khi đó ∫f'(x)e2xdx=∫(1−x)exdx 

Đặt u=1−xdv=exdx⇔du=−dxv=ex

Do đó: ∫f'(x)e2xdx = (1 – x)e^x + ∫exdx 

= (1 – x)e^x + e^x = (2 – x)e^x + C.