Cho \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+1 / x^4 + 2x^3 + x^2

19/22

Cho \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\] trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + \ldots + F\left( {2021} \right)\) viết dưới dạng \(a + \frac{1}{b}\) (với \(a,\,b \in \mathbb{N}\)). Tổng \(a + b\) bằng?

Giải thích

Xét trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].

Khi đó

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\frac{{\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}{\rm{d}}t} = \int {\frac{1}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}{\rm{d}}\left( {{x^2} + x} \right)} } = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + C = - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + C\).

Mặt khác, \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow C = 1\).

Vậy \(F\left( x \right) = - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + 1 = - \left[ {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right] + 1\).

Suy ra

\[S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + \ldots + F\left( {2021} \right) = - \left( {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{2021.2022}}} \right) + 2021\]

\[ = - \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2021}} - \frac{1}{{2022}}} \right) + 2021 = - \left( {1 - \frac{1}{{2022}}} \right) + 2021\]

\[ = 2020 + \frac{1}{{2022}} = a + \frac{1}{b}.\] Suy ra \(a = 2020;b = 2022\).

Vậy tổng \(a + b = 2020 + 2022 = 4042\).