Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/(3x - 2) trên khoảng (2/3; + vô cùng) thỏa mãn F(1) = 0 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Sai.

a) Đúng. Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng, \(\int {\frac{1}{{3x - 2}}} dx = \frac{1}{3}\ln \left| {3x - 2} \right| + C\).

b) Đúng. Vì F(1) = 0 nên \[\frac{1}{3}\ln \left| {3 \cdot 1 - 2} \right| + C = 0\] suy ra \(\frac{1}{3}\ln 1 + C = 0\) hay C = 0.

Vậy F(x) = \(\frac{1}{3}\ln \left( {3x - 2} \right)\) (do x > \(\frac{2}{3}\) nên 3x − 1 > 0).

Khi đó F(5) = \[\frac{1}{3}\ln \left( {3 \cdot 5 - 2} \right) = \frac{1}{3}\ln 13.\]

c) Sai. Thay x = 2 vào biểu thức F(x) ta được \(F\left( 2 \right) = \frac{1}{3}\ln \left( {3 \cdot 2 - 2} \right) = \frac{1}{3}\ln 4\)

d) Sai. Xét phương trình F(x) = 0 tương đương \(\frac{1}{3}\ln \left( {3x - 2} \right) = 0\) suy ra ln(3x − 2) = 0 hay 3x − 2 = 1 suy ra x = 1 (thỏa mãn x > \(\frac{2}{3}\)). Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.