Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Giải thích
a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên F'(x) = f(x).
Ta cần chứng minh (kF(x))' = kf(x).
Ta có (kF(x))' = k(F(x))' = kf(x).
Vậy kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên \(\int {f\left( x \right)} dx = F\left( x \right) + C\).
Có \(\int {kf\left( x \right)} dx = kF\left( x \right) + C'\).
Vì C' ta có thể viết lại bằng kC. Tức là C' = kC.
Do đó \(\int {kf\left( x \right)} dx = kF\left( x \right) + kC = k\left( {F\left( x \right) + C} \right) = k\int {f\left( x \right)dx} \).
Vậy \(\int {kf\left( x \right)} dx = k\int {f\left( x \right)dx} \).