Cho F(x),G(x) lần lượt là nguyên hàm của hàm số f(x) = x căn bậc hai của x  + 8,g(x) = (5^x)- (e^x)

Lời giải

a) Ta có \[\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)} dx - \int {g\left( x \right)dx = } F\left( x \right) - G\left( x \right) + C\].

b) Ta có: \[\int {g\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{5^x} - {e^x}} \right)dx}  = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} - {e^x} + {C_2}\].

c) Ta có: \[\int\limits_1^2 {\left( {x\sqrt x  + 8} \right)dx}  = \int\limits_1^2 {\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 8} \right)dx}  = \left( {\frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 8x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. = \frac{2}{5}\left( {4\sqrt 2  - 1} \right) + 8\]

Do đó, \[a = 2,b = 5,c = 4 \Rightarrow a + b + c = 11\].

d) Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 8x + {C_1}}\\{G\left( x \right) = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} - {e^x} + {C_2}}\end{array}} \right.\]. Mặt khác \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F\left( 1 \right) = \frac{2}{5}}\\{G\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 5}} - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{C_1} =  - 8}\\{{C_2} = 0}\end{array}} \right.\].

Do đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 8x - 8}\\{G\left( x \right) = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} - {e^x}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F\left( 4 \right) = \frac{{184}}{5}}\\{G\left( 1 \right) = \frac{5}{{\ln 5}} - e}\end{array}} \right.\].

Vậy \[F\left( 4 \right) - G\left( 1 \right) = \frac{{184}}{5} - \frac{5}{{\ln 5}} + e\].