Cho F(x) , G(x) lần lượt là một nguyên hàm của hàm số
13/22
Cho \(F\left( x \right);G\left( x \right)\)lần lượt là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt x + 8\);\(g\left( x \right) = {5^x} - {e^x}\) Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Có \(\int {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} {\rm{d}}x = F\left( x \right) - G\left( x \right) + C\).
\(\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = {5^x}\ln 5 - {e^x} + {C_2}\).
Biết \(F\left( 0 \right) = 5;G\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 5}} - 1\). Ta có \(F\left( 1 \right) - G\left( 1 \right) = \frac{{67}}{5} - \frac{5}{{\ln 5}} + e\).
a) Theo tính chất nguyên hàm ta có: \(\int {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} {\rm{d}}x = F\left( x \right) - G\left( x \right) + C\).
Suy ra mệnh đề a đúng.
b) Ta có:
\(\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{5^x} - {e^x}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} - {e^x} + {C_2}\)
Suy ra mệnh đề b sai.
Suy ra mệnh đề c sai.
d) Ta có:
mà \(F\left( 0 \right) = 5 \Rightarrow {C_1} = 5 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 8x + 5\)
Ta có: \(G\left( x \right) = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} - {e^x} + {C_2}\)
mà \(G\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \frac{1}{{\ln 5}} - 1 + {C_2} = \frac{1}{{\ln 5}} - 1 \Leftrightarrow {C_2} = 0\)
\( \Rightarrow G\left( x \right) = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} - {e^x}\)
Do đó: \(F\left( 1 \right) - G\left( 1 \right) = \frac{2}{5} + 8 + 5 - \frac{5}{{\ln 5}} + e = \frac{{67}}{5} - \frac{5}{{\ln 5}} + e\).
Suy ra mệnh đề d đúng.