Cho f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị đi qua ba điểm (0; 1); (1; –2); (3; 0). Kết luận nào sau đây đúng?

Đáp án đúng là: A

Xét f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0):

⦁ Ta có đồ thị đi qua điểm (0; 1) nên f(0) = 1.

Khi đó a.0² + b.0 + c = 1, suy ra c = 1.

⦁ Ta có đồ thị đi qua điểm (1; –2) nên f(1) = –2.

Khi đó a.1² + b.1 + c = –2, suy ra a + b + c = –2 (1)

Thế c = 1 vào (1) ta được a + b + 1 = –2. Do đó a + b = –3 (2)

⦁ Ta có đồ thị đi qua điểm (3; 0) nên f(3) = 0.

Khi đó a.3² + b.3 + c = 0, suy ra 9a + 3b + c = 0 (3)

Thế c = 1 vào (3) ta được 9a + 3b = –1 (4)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 3\\9a + 3b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + 3b = - 9\\9a + 3b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = - 3\\6a = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3 - a\\a = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - \frac{{13}}{3}\\a = \frac{4}{3}\end{array} \right.\]

Vậy ta có tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = \frac{4}{3}{x^2} - \frac{{13}}{3}x + 1.\)

Ta có \[\Delta = {\left( { - \frac{{13}}{3}} \right)^2} - 4.\frac{4}{3}.1 = \frac{{121}}{9} > 0\] và \(a = \frac{4}{3} > 0\)

Suy ra f(x) có 2 nghiệm phân biệt là:

\[{x_1} = \frac{{\frac{{13}}{3} + \sqrt {\frac{{121}}{9}} }}{{2.\frac{4}{3}}} = 3;\,\,{x_2} = \frac{{\frac{{13}}{3} - \sqrt {\frac{{121}}{9}} }}{{2.\frac{4}{3}}} = \frac{1}{4}\]

Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:

Vậy f(x) âm trong khoảng \(\left( {\frac{1}{4};3} \right)\) và f(x) dương trong hai khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{4}} \right)\) và (3; +∞).

Ta chọn phương án A.