Cho f'(x) = 3x^2 − 2. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) biết f(2) = 5 và F(0) = 1. Tìm giá trị của F(−2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −1

Ta có f(x) = \(\int {\left( {3{x^2} - 2} \right)} dx = {x^3} - 2x + {C_1}\).

Vì f(2) = 5 nên 2³ − 2×(2) + C₁ = 5 suy ra 8 − 4 + C₁ = 5 hay C₁ = 1.

Vậy f(x) = x³ − 2x + 1.

Tiếp tục tìm F(x) = \(\int {\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)} dx = \frac{1}{4}{x^4} - {x^2} + x + {C_2}\).

Vì F(0) = 1 nên 0⁴ − 0² + 0 + C₂ = 1 suy ra C₂ = 1.

Hàm số nguyên hàm hoàn chỉnh là F(x) = \(\frac{1}{4}{x^4} - {x^2} + x + 1\).

Thay x = −2 vào F(x), ta được F(−2) = \(\frac{1}{4} \cdot {\left( { - 2} \right)^4} - {\left( { - 2} \right)^2} + \left( { - 2} \right) + 1 = 4 - 4 - 2 + 1 = - 1\).