Cho f ( x ) = x 2 − 2 ( m − 1 ) x + m 2 − 4 . a) Nếu m = 1 thì f ( x ) không phải là tam thức bậc hai. b) Khi m = 3 thì bất phương trình f ( x ) ≤ 0 có tập nghiệm chứa hữu

Lời giải

a) Sai. Nếu \(m = 1\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} - 3\) là tam thức bậc hai.

b) Sai. Khi \(m = 3\), ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 5\), khi đó, \(f\left( x \right) \le 0\) thì \({x^2} - 4x + 5 \le 0\), vô nghiệm.

c) Đúng. Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \({m^2} - 4 < 0\), tức là \( - 2 < m < 2\).

d) Sai. \(f\left( x \right) \le 0\) khi \(x \in & \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) với \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của tam thức \(f\left( x \right)\).

\(f\left( x \right)\) nhận giá trị không dương trên khoảng \(\left[ {a;\,b} \right]\) có \(b - a = 5\) thì \(\left[ {a\,;\,b} \right] = \left[ {{x_1};\,{x_2}} \right]\).

Suy ra \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 5 \Rightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 25\).

Ta có \({\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left[ {2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4 \cdot \left( {{m^2} - 4} \right) = - 8m + 20\).

Khi đó, \( - 8m + 20 = 25\), suy ra \(m = - \frac{5}{8} < 1\).