Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 cos 3 x − 3^( x − 1) thỏa mãn F ( 0 ) = 0 . Tìm F ( x ) .

14/50

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2cos3x - {3^{x - 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 0\). Tìm \(F\left( x \right)\).

\(F\left( x \right) = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}\).

\(F\left( x \right) = - \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}\).

\(F\left( x \right) = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}\).

\(F\left( x \right) = - \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}\).

Giải thích

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {2cos3xdx} - \int {{3^{x - 1}}} dx\)

\( = 2\int {cos3xdx} - \frac{1}{3}\int {{3^x}dx = } \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C\).

Mặt khác \(F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow - \frac{1}{{3\ln 3}} + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{1}{{3\ln 3}}\).

Vậy \(F\left( x \right) = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}} = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}\). Chọn A.