Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1/( x − 1) thỏa mãn F ( 5 ) = 2 và F ( 0 ) = 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{x - 1}}{\rm{d}}x}  = \ln \left| {x - 1} \right| + C\)\( = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ln \left( {x - 1} \right) + {C_1}}&{{\rm{khi}}}&{x > 1}\\{\ln \left( {1 - x} \right) + {C_2}}&{{\rm{khi}}}&{x < 1}\end{array}} \right.\).

\(F\left( 5 \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \ln 4 + {C_1} = 2\)\( \Leftrightarrow {C_1} = 2 - \ln 4\)\( = 2 - 2\ln 2\).

\(F\left( 0 \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \ln 1 + {C_2} = 1\)\( \Leftrightarrow {C_2} = 1\).

Do đó: \(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{x - 1}}{\rm{d}}x} \)\( = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ln \left( {x - 1} \right) + 2 - 2\ln 2}&{{\rm{khi}}}&{x > 1}\\{\ln \left( {1 - x} \right) + 1}&{{\rm{khi}}}&{x < 1}\end{array}} \right.\).

\(F\left( { - 1} \right) = \ln 2 + 1\).

\(F\left( 2 \right) = 2 - 2\ln 2\).

\(F\left( 3 \right) = 2 - \ln 2\). Chọn B.