Cho f (x) là hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn f (x) + f '(x) = x + 1 với mọi x và f (0) = 3. Tính e.f (1).

Đáp án đúng là: A

f (x) + f '(x) = x + 1 (1)

Với e^x > 0 với moi x nên nhân 2 vế của (1) với e^x ta được

e^x.f (x) + e^x.f '(x) = (x + 1).e^x

Lấy nguyên hàm hai vế ta có:

∫ex.fx+ex.f'xdx=∫x+1exdx

+) Xét VT=∫ex.fx+ex.f'xdx

=∫ex'.fx+ex.f'xdx=ex.fx+C

+) VP=∫x+1exdx

Đặt u=x+1⇒du=dxdv=exdx⇒v=exx

Suy ra VP=∫x+1exdx=x+1ex−∫exdx

= x.e^x + C

Khi đó phương trình (2) trở thành

(2) Û e^x.f (x) = x.e^x + C

Thay x = 0 vào ta được

e⁰.f (0) = 0.e⁰ + C Û 3 = C

Vậy suy ra e^x.f (x) = x.e^x + 3

Khi đó e.f (1) = 1.e¹ + 3 = e + 3.