Cho f ( x ) = a x^3 + b x^2 + c x + d trong đó a , b , c , d ∈ Z và thỏa mãn b = 3 a + c . Chứng minh rằng f ( 1 ) . f ( − 2 ) là bình phương của một số nguyên.

\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)

Ta có \(f\left( 1 \right) = a{.1^3} + b{.1^2} + c.1 + d = a + b + c + d\)

\(f\left( { - 2} \right) = a.{\left( { - 2} \right)^3} + b.{\left( { - 2} \right)^2} + c.\left( { - 2} \right) + d = - 8a + 4b - 2c + d\)

Suy ra \(f\left( { - 2} \right) - f\left( 1 \right) = - 8a + 4b - 2c + d - a - b - c - d\)

\( = - 9a + 3b - 3c\)

\( = - 3\left( {3a - b + c} \right)\)

Theo bài, \(b = 3a + c\) suy ra \(3a - b + c = 0\)

Do đó \(f\left( { - 2} \right) - f\left( 1 \right) = - 3.0 = 0\) nên \(f\left( { - 2} \right) = f\left( 1 \right)\)

Khi đó \(f\left( 1 \right).f\left( { - 2} \right) = {\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2}\)

Do \(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\) nên \(a + b + c + d \in \mathbb{Z}\) hay \(f\left( 1 \right) \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(f\left( 1 \right).f\left( { - 2} \right) = {\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2}\) là bình phương của một số nguyên.