Cho f ( x ) = 3/(√ x + 3 − √ x) − 2 / (√ x + 2 − √ x) với x > 0 . Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Đáp số
PHÁT BIỂU | ĐÚNG | SAI |
\(A = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + \ldots + f\left( {2024} \right) = \sqrt {2026} - \sqrt 3 \). | X | |
Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng 1. | X | |
\(B = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + \ldots + f'\left( {2024} \right) = \frac{1}{{2\sqrt {2027} }} - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\) | X |
Giải thích
Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{3}{{\sqrt {x + 3} - \sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt {x + 2} - \sqrt x }} = \frac{{3\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt x } \right)}}{{x + 3 - x}} - \frac{{2\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt x } \right)}}{{x + 2 - x}}\)
\( = \left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt x } \right) - \left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt x } \right) = \sqrt {x + 3} - \sqrt {x + 2} \)
Hay \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} - \sqrt {x + 2} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} - \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} < 0,\forall x > 0\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 0 \right),\forall x > 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) < \sqrt 3 - \sqrt 2 ,\forall x > 0\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) không có giá trị lớn nhất trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Cách 1. Ta có:
\(A = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + \ldots + f\left( {2024} \right)\)
\( = \sqrt 4 - \sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 4 + \ldots + \sqrt {2027} - \sqrt {2026} \)
\( = \sqrt {2027} - \sqrt 3 \)
\(B = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + \ldots + f'\left( {2024} \right)\)
\( = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} - \frac{1}{{2\sqrt 3 }} + \frac{1}{{2\sqrt 5 }} - \frac{1}{{2\sqrt 4 }} + \ldots + \frac{1}{{2\sqrt {2027} }} - \frac{1}{{2\sqrt {2026} }}\)
\( = \frac{1}{{2\sqrt {2027} }} - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\)
Cách 2. Sử dụng Casio
\(A = \sum\limits_{x = 1}^{2024} {\left( {\sqrt {x + 3} - \sqrt {x + 2} } \right) \approx 43,29} \)
\(B = \sum\limits_{x = 1}^{2024} {\left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} - \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }}} \right) \approx - 0,277} \)