Cho elip (E) :x^2 /9 + y^2/1 = 1\). Tìm những điểm \(M\) thuộc \((E)\) sao cho nó nhìn

20/22

Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm những điểm \(M\) thuộc \((E)\) sao cho nó nhìn hai tiêu điểm của \((E)\) dưới một góc vuông.

Giải thích

Ta có: \({a^2} = 9 \Rightarrow a = 3;{b^2} = 1 \Rightarrow b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 4\sqrt 2 \).

Gọi \(M(x;y) \in (E)\) thì \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x,M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x\).

Ta có F1MF2^=90° nên \({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(4\sqrt 2 )^2} = {\left( {3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x} \right)^2} + {\left( {3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 32 = 18 + 2 \cdot \frac{8}{9} \cdot {x^2}\end{array}\)\(\)

\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{63}}{8} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\sqrt {14} }}{4}\)

Thay vào \((E)\), ta được: \({y^2} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow y = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy có bốn điểm \(M\) thỏa mãn là \(\left( { \pm \frac{{3\sqrt {14} }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right),\left( { \pm \frac{{3\sqrt {14} }}{4}; - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)\).