Cho elip $(E): x^2 /4 + y^2 / 1=1 . Tìm tọa độ các điểm \(A$ và $B$ thuộc $(E)$ có hoành độ dương sao cho tam

17/22

Cho elip $(E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$. Tìm tọa độ các điểm $A$ và $B$ thuộc $(E)$ có hoành độ dương sao cho tam giác $OAB$ cân tại $O$ và có diện tích lớn nhất.

Giải thích

Do tam giác $OAB$ cân tại $O$ và hai điểm $A,B$ có hoành độ dương nên $A,B$ đối xứng nhau qua $Ox$

$Cho elip $(E): x^2 /4 + y^2 / 1=1 . Tìm tọa độ các điểm \(A$ và $B$ thuộc $(E)$ có hoành độ dương sao cho tam (ảnh 1)$

Giả sử $A(x;y)$ với $x > 0$, suy ra $B(x; - y)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $AB$. Khi đó $:{S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}AB \cdot OH = \frac{1}{2}|2y|x = x|y|$.

Theo bất đẳng thức AM-GM: $1 = \frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}}}{4} \cdot {y^2}} = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot |y| = x|y|(x > 0)$.

Do đó ${S_{\Delta OAB}} = x|y| \le 1$. Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi: $\frac{{{x^2}}}{4} = {y^2}$.

Thay vào $(E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$, ta được: ${y^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Suy ra ${x^2} = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2 $.

Vậy $A\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),B\left( {\sqrt 2 ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$ hoặc $A\left( {\sqrt 2 ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),B\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$.

Đề kiểm tra Ba đường conic (có lời giải) - Đề 3

Cho elip \((E): x^2 /4 + y^2 / 1=1 . Tìm tọa độ các điểm \(A\) và \(B\) thuộc \((E)\) có hoành độ dương sao cho tam