Cho elip \((E): x^2 /4 + y^2 /1 =1 với hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \((E)\) sao cho góc

Ta có \({a^2} = 4 \Rightarrow a = 2;{b^2} = 1 \Rightarrow b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 3  \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2\sqrt 3 \).

Gọi \(M(x;y) \in (E)\) thì \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x,M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\).

Ta có: F1F22=MF12+MF22−2MF1⋅MF2⋅cos60°

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(2\sqrt 3 )^2} = {\left( {2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)^2} + {\left( {2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)^2} - 2\left( {2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)\left( {2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right) \cdot \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 12 = 4 + 2\sqrt 3 x + \frac{3}{4}{x^2} + 4 - 2\sqrt 3 x + \frac{3}{4}{x^2} - \left( {4 - \frac{3}{4}{x^2}} \right) \Leftrightarrow 8 = \frac{9}{4}{x^2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\end{array}\)

Thay vào \((E)\), ta được: \(\frac{{32}}{{9.4}} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow y =  \pm \frac{1}{3}\).

Vậy có bốn điểm \(M\) thỏa mãn là: \(\left( { \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3};\frac{1}{3}} \right),\left( { \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\).