Xét hệ trục toạ độ \(Oxy\) như Hình, trong đó các trục \(Ox,Oy\) lần lượt là các đường phân giác của các góc tạo bởi \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Phương trình hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \({\Delta _1}:x + y = 0\) và \({\Delta _2}:x - y = 0\).

$Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau. Một chất điểm chuyển (ảnh 2)$

Giả sử chất điểm ở vị trí \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và chỉ chuyển động trong một góc vuông tương ứng với miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y > 0}\\{x - y > 0}\end{array}} \right.\) (điểm có toạ độ \((1;0)\) thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình \(x + y > 0\) và \(x - y > 0\).

Khoảng cách từ \(M\) đến hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + y = 0\) và \({\Delta _2}:x - y = 0\) lần lượt là: \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{x_0} + {y_0}}}{{\sqrt 2 }}\); \(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{x_0} - {y_0}}}{{\sqrt 2 }}.\)

Suy ra \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) \cdot d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{{x_0} + {y_0}}}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{{x_0} - {y_0}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{x_0^2 - y_0^2}}{2}\). Do đó \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) \cdot d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{{x_0^2 - y_0^2}}{2} = 4 \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{8} - \frac{{y_0^2}}{8} = 1\). Vậy chất điểm \(M\) chuyển động trên một phần của đường hypebol \(\frac{{{x^2}}}{8} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).

Cho elip có phương trình chính tắc x^2 /4 + y^2 /1 = 1\). Tính tâm sai của elip.