Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm I nằm ngoài đường tròn. Qua I dựng hai tiếp tuyến IA và IB (A,B là hai tiếp điểm). Một đường thẳng qua điểm I không đi qua tâm O, cắt đường tròn tại ha

Đáp án:   a) Sai.        b) Đúng.    c) Đúng.     d) Đúng.

a) Sai. Nếu tam giác \(IAB\) đều thì \(\widehat {AIB} = 60^\circ \).

Mà \(IO\) là tia phân giác của \(\widehat {AIB}\) nên \(\widehat {OIA} = \frac{1}{2}\widehat {AIB} = 30^\circ \).

Suy ra \(IA = \frac{{OA}}{{\tan \widehat {OIA}}} = \frac{R}{{\tan 30^\circ }} = R\sqrt 3 \).

Diện tích tam giác \(IAB\) sẽ là \(\frac{{{{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\), không phải \(\frac{{3{R^2}}}{2}\).

b) Đúng. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có \(IA = IB\) nên \(I\) nằm trên đường trung trực của \(AB.\)

Vì \(OA = OB\) (bán kính đường tròn) nên \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB.\)

Như vậy \(OI\) là đường trung trực của \(AB\) nên \(OI \bot AB.\)

c) Đúng. Ta có \(\widehat {AMI} = \widehat {AMN} = \frac{1}{2}\widehat {AON}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(AN)\)

                                                \( = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - 2\widehat {OAN}} \right)\) (vì \(\Delta OAN\) cân tại \(O\))

                                                \( = 90^\circ - \widehat {OAN} = \widehat {IAN}.\)

Từ đó chứng minh được $\Delta IAM\backsim \Delta INA$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{IA}}{{IN}} = \frac{{IM}}{{IA}}\) hay \(I{A^2} = IM \cdot IN\).

d) Đúng. Ta có \(\widehat {IAO} = \widehat {IBO} = 90^\circ \) nên bốn điểm \(A,B,O,I\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(OI\).