Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn, từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Lấy điểm K thuộc cung nhỏ MN, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại K
a) 1,5 đ Hình vẽ |
|
Chứng minh rằng : tứ giác \(AMON\)là tứ giác nội tiếp Vì \(AM,AN\)là 2 tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat {AMO} = \widehat {ANO} = 90^\circ \)
| |
Suy ra: \(\Delta AMO\) và \(\Delta ANO\) nội tiếp đường tròn đường kính AO. Suy ra tứ giác\(AMON\)là tứ giác nội tiếp. | |
b) 1,0 đ
| Chứng minh rằng: \(\widehat {EOF} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\) Vì \(EM,EK\)là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \(OE\)là phân giác của \(\widehat {KOM}\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\widehat {EOK} = \frac{1}{2}\widehat {KOM}\) \(FN,FK\)là tiếp tuyến của (O) nên \[OF\]là phân giác của \(\widehat {KON}\) tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)nên \(\widehat {FOK} = \frac{1}{2}\widehat {KON}\). Ta có \(\widehat {MON} = \widehat {KOM} + \widehat {KON}\) \[\frac{1}{2}\widehat {MON} = \frac{1}{2}\widehat {KOM} + \frac{1}{2}\widehat {KON}\] \[\frac{1}{2}\widehat {MON} = \widehat {EOK} + \widehat {FOK}\, = \widehat {EOF}\] |
Chứng minh rằng: \(ME.OF = OE.MP\) Vì \(AM,AN\)là 2 tiếp tuyến của (O) ta c/m được : \(AO \bot MN\) Suy ra \(\widehat {EMN} = \widehat {AOM} = 90^\circ - \widehat {OMN}\) mà \(\widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\) nên \[\widehat {EMN} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\] Mà \(\widehat {EOF} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)nên \(\widehat {EMN} = \widehat {EOF}\)hay \(\widehat {EMP} = \widehat {EOF}\) Vì \(EM,EK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(EO\)là phân giác của \(\widehat {KEM}\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\widehat {MEO} = \widehat {KEO}\) hay \(\widehat {MEP} = \widehat {FEO}\) Xét \(\Delta MEP\)và \(\Delta OEF\)có: \[\widehat {EMP} = \widehat {EOF}\,\,{\rm{(cmt)}}\,;\,\,\widehat {MEP} = \widehat {FEO}\,\,{\rm{(cmt)}}\] Suy ra (g.g) Suy ra \(\frac{{ME}}{{OE}} = \frac{{MP}}{{OF}}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) Suy ra \(ME.OF = OE.MP\) (đpcm). | |
c) 0,5 đ
| Chứng minh rằng \(OK,EQ,FP\)đồng quy Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. Vẽ đường tròn (O) đi qua 3 điểm A, B, C. Gọi \[D'\] là giao điểm của AD và (O). Khi đó tứ giác \[ABCD'\] nội tiếp đường tròn (O). Suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {AD'C} = 180^\circ \) Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (gt) Suy ra \(\widehat {ADC} = \widehat {AD'C}\) Suy ra D trùng \[D'\] hay \(D \in (O)\) Mà tứ giác \[ABCD'\] nội tiếp đường tròn (O). Suy ra: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh tương tự: Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc thì tứ giác đó nội tiếp. Áp dụng bổ đề trên ta có: Chứng minh tứ giác \(EMOQ\)nội tiếp. Suy ra \(\widehat {EMO} + \widehat {EQO} = 180^\circ \)mà \[\widehat {EMO} = 90^\circ \,\,{\rm{suy}}\,\,{\rm{ra}}\,\,\widehat {EQO} = 90^\circ \,\,{\rm{hay}}\,\,EQ \bot FO\]. Vì \(EM,EK\)là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \(EM = EK\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Vì do đó \(\frac{{KE}}{{OE}} = \frac{{EP}}{{EF}}\) Xét \(\Delta KEP\)và \(\Delta OEF\)có \(\widehat {FEO}\,\,{\rm{chung}},\,\,\frac{{KE}}{{OE}} = \frac{{EP}}{{EF}}\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\) Do đó Suy ra \(\widehat {EKP} = \widehat {EOF}\)(hai góc tương ứng) Tứ giác \(KFOP\)có \(\widehat {EKP} = \widehat {EOF}\,\,{\rm{(cmt)}}\)mà hai góc này cùng bù với \(\widehat {PKF}\). Suy ra tứ giác \(KFOP\)là tứ giác nội tiếp Suy ra \(\widehat {FKO} = \widehat {FPO}\)(cùng chắn cung \(OF)\) Mà \(\widehat {FKO} = 90^\circ \,\,(KF\)là tiếp tuyến của (O)) suy ra \[\widehat {FPO} = 90^\circ \] hay \[FP \bot EO\]. Tam giác \(OEF\)có:\(OK \bot EF\)(EF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại K) \(EQ \bot FO\,\,{\rm{(cmt)}},\,\,FP \bot EO\,\,{\rm{(cmt)}}\) Suy ra \(OK,\,\,EQ,\,\,FP\)lần lượt là các đường cao của \(\Delta OEF\,\,\) Do đó \(OK,\,\,EQ,\,\,FP\) đồng quy (đpcm) |
